Menemukan Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmetika: Panduan Lengkap

Hai, teman-teman! Mari kita selami dunia barisan aritmetika yang seru ini. Kali ini, kita akan membahas cara menentukan rumus suku ke-n dari sebuah barisan, khususnya ketika kita diberikan informasi tentang beberapa suku tertentu dalam barisan tersebut. Kita akan menggunakan contoh soal yang menarik, yaitu tentang barisan aritmetika yang memenuhi kondisi U₄ + U₁₀ = 68 dan U₇ = 29. Penasaran kan bagaimana caranya? Yuk, simak terus!

Memahami Konsep Dasar Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah urutan bilangan di mana selisih antara suku-suku yang berurutan selalu tetap. Selisih tetap ini disebut beda (biasanya dilambangkan dengan 'b'). Misalnya, jika kita punya barisan 2, 4, 6, 8, ..., maka bedanya adalah 2 (karena 4-2 = 2, 6-4 = 2, dan seterusnya). Setiap suku dalam barisan aritmetika dapat dinyatakan dengan rumus:

Uₙ = a + (n - 1) * b

di mana:

• Uₙ adalah suku ke-n
• a adalah suku pertama
• n adalah nomor suku
• b adalah beda

Jadi, sebelum kita mulai mencari rumus suku ke-n, kita perlu tahu nilai 'a' dan 'b'. Nah, dari soal yang diberikan, kita punya dua informasi penting: U₄ + U₁₀ = 68 dan U₇ = 29. Dengan informasi ini, kita bisa mencari nilai 'a' dan 'b'.

Menguraikan Informasi dari Soal

Soal memberikan kita dua persamaan. Mari kita uraikan masing-masing:

1. U₄ + U₁₀ = 68

   • U₄ = a + (4 - 1) * b = a + 3b
   • U₁₀ = a + (10 - 1) * b = a + 9b
   • Jadi, U₄ + U₁₀ = (a + 3b) + (a + 9b) = 2a + 12b = 68

2. U₇ = 29

   • U₇ = a + (7 - 1) * b = a + 6b = 29

Sekarang, kita punya dua persamaan dengan dua variabel (a dan b):

• 2a + 12b = 68
• a + 6b = 29

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Untuk mencari nilai 'a' dan 'b', kita bisa menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan metode eliminasi. Kita bisa mengalikan persamaan kedua dengan 2, sehingga koefisien 'a' pada kedua persamaan menjadi sama:

• 2 * (a + 6b = 29) => 2a + 12b = 58

Sekarang kita punya:

• 2a + 12b = 68
• 2a + 12b = 58

Perhatikan bahwa kedua persamaan ini hampir sama, tetapi nilai konstanta di sisi kanan berbeda. Ini menunjukkan ada kesalahan pada soal atau memang seperti itu adanya. Jika kita asumsikan soalnya benar, maka tidak ada solusi yang memenuhi. Namun, untuk tujuan pembelajaran, kita akan mengabaikan hal tersebut dan melanjutkan perhitungan seolah-olah soalnya memiliki solusi.

Jika soalnya benar, maka kita akan menggunakan metode eliminasi untuk mencari nilai b. Kita kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:

(2a + 12b) - (2a + 12b) = 68 - 58 0 = 10

Karena pernyataan 0 = 10 adalah salah, maka tidak ada solusi yang memenuhi kedua persamaan tersebut. Namun, jika kita menggunakan informasi U₇ = 29, kita bisa mencari a dalam bentuk b. Dari U₇ = a + 6b = 29, kita dapatkan a = 29 - 6b. Lalu kita substitusikan nilai a ke persamaan pertama.

Menentukan Rumus Suku ke-n

Mari kita asumsikan soalnya sedikit berbeda, dan kita berhasil menemukan nilai a dan b. Misalnya, setelah melalui perhitungan (yang sebenarnya tidak memungkinkan dengan soal asli), kita dapatkan a = 5 dan b = 3. Maka, rumus suku ke-n-nya adalah:

Uₙ = a + (n - 1) * b Uₙ = 5 + (n - 1) * 3 Uₙ = 5 + 3n - 3 Uₙ = 3n + 2

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika tersebut adalah Uₙ = 3n + 2.

Kesimpulan

Menemukan rumus suku ke-n barisan aritmetika memerlukan pemahaman konsep dasar, kemampuan menyusun persamaan dari informasi yang diberikan, dan keterampilan menyelesaikan sistem persamaan linear. Dengan latihan yang cukup, kalian pasti bisa menguasai materi ini dengan baik. Ingatlah untuk selalu berlatih dan jangan ragu untuk bertanya jika ada yang kurang jelas. Semangat terus belajar, guys! Kalian pasti bisa!

Tips Tambahan

• Perbanyak latihan soal: Semakin banyak soal yang kalian kerjakan, semakin mudah kalian memahami konsepnya.
• Pahami konsep dasar: Pastikan kalian benar-benar memahami definisi dan karakteristik barisan aritmetika.
• Gunakan berbagai metode: Jangan terpaku pada satu metode penyelesaian saja. Cobalah berbagai metode (eliminasi, substitusi) untuk menemukan solusi yang paling mudah bagi kalian.
• Cek kembali jawaban: Selalu periksa kembali jawaban kalian untuk memastikan tidak ada kesalahan perhitungan.

Contoh Soal Tambahan

Soal 1:

Suatu barisan aritmetika memiliki suku ke-3 = 14 dan suku ke-7 = 26. Tentukan:

a. Suku pertama dan beda barisan tersebut.

b. Rumus suku ke-n.

c. Suku ke-10.

Pembahasan:

a. Kita tahu U₃ = 14 dan U₇ = 26. Gunakan rumus Uₙ = a + (n - 1) * b:

• U₃ = a + 2b = 14
• U₇ = a + 6b = 26

Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:

(a + 6b) - (a + 2b) = 26 - 14 4b = 12 b = 3

Substitusikan b = 3 ke salah satu persamaan (misalnya, a + 2b = 14): a + 2 * 3 = 14 a + 6 = 14 a = 8

Jadi, suku pertama (a) = 8 dan beda (b) = 3.

b. Rumus suku ke-n:

Uₙ = a + (n - 1) * b Uₙ = 8 + (n - 1) * 3 Uₙ = 8 + 3n - 3 Uₙ = 3n + 5

c. Suku ke-10:

U₁₀ = 3 * 10 + 5 U₁₀ = 30 + 5 U₁₀ = 35

Soal 2:

Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama 5 dan beda 4. Tentukan suku ke-15!

Pembahasan:

Kita tahu a = 5 dan b = 4. Gunakan rumus Uₙ = a + (n - 1) * b:

U₁₅ = 5 + (15 - 1) * 4 U₁₅ = 5 + 14 * 4 U₁₅ = 5 + 56 U₁₅ = 61

Jadi, suku ke-15 adalah 61.

Penutup

Semoga artikel ini bermanfaat, ya, teman-teman! Jangan lupa untuk terus berlatih dan eksplorasi soal-soal barisan aritmetika lainnya. Jika ada pertanyaan atau ingin berdiskusi lebih lanjut, jangan ragu untuk berkomentar di bawah. Sampai jumpa di pembahasan matematika lainnya! Keep learning, keep growing!

Disclaimer: Soal asli yang diberikan memiliki potensi kesalahan. Penyelesaian di atas menggunakan asumsi untuk tujuan pembelajaran. Pastikan selalu memeriksa soal dengan cermat dan teliti.